Всего: 17 1–17
Добавить в вариант
Отрезок AB пересекает плоскость α в точке O. Точка M делит отрезок AB в отношении 3 : 2, считая от точки А. Из точек А, В, M проведены параллельные прямые, пересекающие плоскость α в точках A1, B1, M1 соответственно. Найдите длину отрезка ММ1, если 
Известно, что 
Тогда 
Из подобия треугольников имеем: 
Параллельно стороне треугольника, равной 5, проведена прямая. Длина отрезка этой прямой, заключенного между сторонами треугольника, равна 2. Найдите отношение площади полученной трапеции к площади исходного треугольника.
Площади подобных фигур относятся как квадрат коэффициента подобия. Поэтому 
а тогда 
Куб вписан в правильную четырехугольную пирамиду так, что четыре его вершины находятся на боковых ребрах пирамиды, а четыре другие вершины — на ее основании. Длина стороны основания пирамиды равна 2, высота пирамиды — 6. Найдите площадь S поверхности куба. В ответ запишите значение выражения 4S.
Из полного бокала, имеющего форму конуса высотой 9, отлили треть (по объему) жидкости. Вычислите 
где h — высота оставшейся жидкости.
откуда 
Высоты остроугольного равнобедренного треугольника ABC (AB = BC) пересекаются в точке O. Если высота AD = 15 и AO = 10, то длина стороны AC равна:
поскольку треугольник ABC — равнобедренный. Поэтому:
На рисунке изображен треугольник ABC, в котором ∠ACB = 38°, ∠AMN = 109°. Используя данные рисунка, найдите градусную меру угла BAC.
Точка A движется по периметру треугольника KMP. Точки K1, M1, P1 лежат на медианах треугольника KMP и делят их в отношении 11 : 3, считая от вершин. По периметру треугольника K1M1P1 движется точка B со скоростью, в пять раз большей, чем скорость точки A. Сколько раз точка B обойдет по периметру треугольник K1M1P1 за то время, за которое точка A два раза обойдет по периметру треугольник KMP?
Таким образом, 
и 
и треугольники M1K1P1 и MKP подобны, получаем 
Тогда 
Тогда точка B обойдет периметр 56 раз.Объем прямоугольного параллелепипеда ABCDA1B1C1D1 равен 1728. Точка P лежит на боковом ребре CC1 так, что CP : PC1 = 2 : 1. Через точку P, вершину D и середину бокового ребра AA1 проведена секущая плоскость, которая делит прямоугольный параллелепипед на две части. Найдите объём меньшей из частей.
проведем KP||OM, K
Таким образом, MNKPD — искомое сечение.
тогда 
тогда 
Аналогично находим отношение 
следовательно, это искомый объём. Тогда его объём равен 724.ABCDA1B1C1D1 — прямая четырехугольная призма, объем которой равен 960. Основанием призмы является параллелограмм ABCD. Точки M и N принадлежат ребрам A1D1 и С1D1, так что A1M : A1D1 = 1 : 2, D1N : NC1 = 2 : 1. Отрезки A1N и B1M пересекаются в точке K. Найдите объем пирамиды SB1KNC1, если 
и B1S : SD = 3 : 1.
где основание — KNC1B1. Проведем высоту SE из точки S пирамиды SB1KNC1, как показано на втором рисунке.
поэтому 
для этого сделаем дополнительное построение, проведя прямую параллельную B1M до пересечения с продолжением стороны A1D1 (см. рис. 3). Получившийся треугольник D1NF подобен треугольнику A1B1M по двум углам. Поэтому:
и 
Соответственно, площадь треугольника A1NF равна 
В треугольнике ABC известно, что 
Укажите номер верного утверждения для сторон треугольника.
Значит, 
— равнобедренный, а стороны AB и BC равны. Поскольку в треугольнике напротив большего угла лежит большая сторона, заключим, что 
и 
и радиус окружности, описанной вокруг AED равен 10.
Из соотношения 
из основного тригонометрического тождества.
В трапеции ABCD с основаниями AD > BC точка пересечения ее диагоналей делит диагональ AC на отрезки 6 и 4. Найдите площадь трапеции, если площадь треугольника ABC равна 20.
Тогда 
Таким образом, 
SABCD — правильная четырехугольная пирамида, все ребра которой равны 37. Точка М — середина ребра SA. Точка N ∈ SD, DN : NS = 1 : 3. Найдите длину отрезка, по которому плоскость, проходящая через точки N, М, В, пересекает основание ABCD пирамиды.
следовательно, 
Поскольку 
получаем, что 
Тогда 
ABCD — прямоугольник. Точка N — середина стороны ВС. Отрезок DN пересекает диагональ АС в точке О (см. рис.). Найдите площадь четырехугольника ONBA, если площадь прямоугольника ABCD равна 492.
Треугольники ONC и AOD подобны по двум углам. Тогда 
отношение площадей подобных треугольников равно квадрату коэффициента подобия, поэтому 
Отношение 
тогда 
то 
Дан параллелограмм ABCD, 
Отрезок DK пересекает сторону АВ в
тогда 
и 
поэтому 
поэтому 
ABCA1B1C1 — правильная треугольная призма, все ребра которой равны 3. Точки P и K — середины ребер BC и CC1 соответственно, M ∈ AA1, AM : AA1 = 1 : 3 (см. рис.). Найдите увеличенный в 25 раз квадрат длины отрезка, по которому плоскость, проходящая через точки M, K, P, пересекает грань AA1B1B.
Треугольники KPC и LBP равны по стороне и двум углам, тогда 
Треугольники BQL и AMQ подобны по двум углам, тогда
По теореме Пифагора:
На рисунке изображены подобные треугольники АВС и A1B1C1. Используя данные рисунка, найдите длину стороны B1C1 треугольника A1B1C1.
